9.1 Convertir d’une base à l’autre
1. Principe de base de numérotation
Une base de numération indique combien de symboles différents on utilise pour écrire les nombres.
Exemples de bases
| Base | Nom | Symboles utilisés |
|---|---|---|
| Base 2 | binaire | 0, 1 |
| Base 8 | octale | 0 à 7 |
| Base 10 | décimale | 0 à 9 |
| Base 16 | hexadécimale | 0 à 9 puis A, B, C, D, E, F |
En informatique, on utilise beaucoup la base 2, car les ordinateurs fonctionnent avec deux états :
- 0 : éteint, faux, absence de courant
- 1 : allumé, vrai, présence de courant
2. Principe de rang
Dans un nombre, chaque chiffre a une valeur différente selon sa position.
En base 10, chaque rang correspond à une puissance de 10.
Exemple :
345 = 3 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1
345 = 3 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰
En base 2, chaque rang correspond à une puissance de 2.
Exemple :
1011₂ = 1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰
1011₂ = 8 + 0 + 2 + 1
1011₂ = 11₁₀
Le petit chiffre en bas indique la base utilisée.
1011₂ signifie que le nombre est en base 2.
11₁₀ signifie que le nombre est en base 10.
3. Conversion d’une base vers la base 10
Pour convertir un nombre vers la base 10, on multiplie chaque chiffre par la puissance de la base correspondant à son rang.
Exemple : convertir 1101₂ en base 10
1101₂ = 1 × 2³ + 1 × 2² + 0 × 2¹ + 1 × 2⁰
= 8 + 4 + 0 + 1
= 13₁₀
Donc :
1101₂ = 13₁₀
Exemple : convertir 243₅ en base 10
243₅ = 2 × 5² + 4 × 5¹ + 3 × 5⁰
= 2 × 25 + 4 × 5 + 3 × 1
= 50 + 20 + 3
= 73₁₀
Donc :
243₅ = 73₁₀
Exemple : convertir A3₁₆ en base 10
En hexadécimal :
A = 10
B = 11
C = 12
D = 13
E = 14
F = 15
Donc :
A3₁₆ = 10 × 16¹ + 3 × 16⁰
= 10 × 16 + 3 × 1
= 160 + 3
= 163₁₀
Donc :
A3₁₆ = 163₁₀
4. Conversion de la base 10 vers une autre base
Pour convertir un nombre décimal vers une autre base, on fait des divisions successives par la base.
On garde les restes, puis on lit les restes de bas en haut.
Exemple : convertir 13₁₀ en base 2
13 ÷ 2 = 6 reste 1
6 ÷ 2 = 3 reste 0
3 ÷ 2 = 1 reste 1
1 ÷ 2 = 0 reste 1
On lit les restes de bas en haut :
1101₂
Donc :
13₁₀ = 1101₂
Exemple : convertir 73₁₀ en base 5
73 ÷ 5 = 14 reste 3
14 ÷ 5 = 2 reste 4
2 ÷ 5 = 0 reste 2
On lit les restes de bas en haut :
243₅
Donc :
73₁₀ = 243₅
5. Notion de modulo
Le modulo donne le reste d’une division entière.
On l’écrit souvent avec le symbole % ou mod.
Exemple
13 ÷ 2 = 6 reste 1
Donc :
13 mod 2 = 1
Autres exemples :
10 mod 3 = 1
15 mod 5 = 0
17 mod 4 = 1
20 mod 6 = 2
Le modulo est très utile en informatique, par exemple pour :
- savoir si un nombre est pair ou impair ;
- créer des cycles ;
- faire des conversions de base ;
- travailler avec des bits.
Nombre pair ou impair
Un nombre est pair si :
nombre mod 2 = 0
Un nombre est impair si :
nombre mod 2 = 1
Exemples :
8 mod 2 = 0 → 8 est pair
9 mod 2 = 1 → 9 est impair
6. Bit, byte et octet
Le bit
Un bit est la plus petite unité d’information en informatique.
Il peut prendre deux valeurs :
0 ou 1
Le mot bit vient de binary digit, c’est-à-dire chiffre binaire.
L’octet
Un octet est composé de 8 bits.
1 octet = 8 bits
Exemple :
01000001
Ce groupe contient 8 bits, donc c’est un octet.
Le byte
En anglais, byte signifie généralement octet.
1 byte = 1 octet = 8 bits
Attention à ne pas confondre :
bit = une seule valeur 0 ou 1
byte / octet = groupe de 8 bits
7. Comparer différents systèmes de représentation du nombre
Le même nombre peut s’écrire de plusieurs façons selon la base.
| Décimal | Binaire | Hexadécimal |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 |
| 3 | 11 | 3 |
| 4 | 100 | 4 |
| 5 | 101 | 5 |
| 6 | 110 | 6 |
| 7 | 111 | 7 |
| 8 | 1000 | 8 |
| 9 | 1001 | 9 |
| 10 | 1010 | A |
| 11 | 1011 | B |
| 12 | 1100 | C |
| 13 | 1101 | D |
| 14 | 1110 | E |
| 15 | 1111 | F |
| 16 | 10000 | 10 |
Exemple :
15₁₀ = 1111₂ = F₁₆
9.2 Appliquer des principes arithmétiques et logiques sur des nombres binaires
1. Opérations arithmétiques sur les nombres binaires
Les nombres binaires s’additionnent comme les nombres décimaux, mais avec seulement deux chiffres : 0 et 1.
Addition binaire
Règles de base :
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10
Attention :
1 + 1 = 10₂
Cela signifie :
0 et je retiens 1
Exemple : additionner 1011₂ et 0011₂
1011
+ 0011
= 1110
Vérification en décimal :
1011₂ = 11₁₀
0011₂ = 3₁₀
1110₂ = 14₁₀
Donc :
11 + 3 = 14
Soustraction binaire
Règles de base :
0 - 0 = 0
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
0 - 1 = impossible directement, il faut emprunter
Quand on fait :
0 - 1
on emprunte 1 au rang de gauche.
Exemple : soustraire 0011₂ de 1011₂
1011
- 0011
= 1000
Vérification en décimal :
1011₂ = 11₁₀
0011₂ = 3₁₀
1000₂ = 8₁₀
Donc :
11 - 3 = 8
2. Logique binaire
En logique binaire, on utilise deux valeurs :
0 = faux
1 = vrai
Les opérations logiques principales sont :
AND, OR, XOR, NOT
3. Fonction AND
La fonction AND signifie ET.
Le résultat vaut 1 seulement si les deux entrées valent 1.
Table de vérité de AND
| A | B | A AND B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Exemple courant
Situation :
La lumière s’allume si l’interrupteur A est activé ET si l’interrupteur B est activé.
Expression logique :
L = A AND B
4. Fonction OR
La fonction OR signifie OU.
Le résultat vaut 1 si au moins une des deux entrées vaut 1.
Table de vérité de OR
| A | B | A OR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Exemple courant
Situation :
Une alarme sonne si la porte est ouverte OU si la fenêtre est ouverte.
Expression logique :
A = Porte OR Fenêtre
5. Fonction XOR
La fonction XOR signifie OU exclusif.
Le résultat vaut 1 si une seule des deux entrées vaut 1.
Si les deux entrées sont identiques, le résultat vaut 0.
Table de vérité de XOR
| A | B | A XOR B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
Exemple courant
Situation :
Une lampe contrôlée par deux interrupteurs va-et-vient change d’état selon l’un ou l’autre interrupteur.
Expression logique :
L = A XOR B
6. Fonction NOT
La fonction NOT signifie NON.
Elle inverse la valeur.
NOT 0 = 1
NOT 1 = 0
Table de vérité de NOT
| A | NOT A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Exemple courant
Situation :
Une machine fonctionne si le bouton d’arrêt d’urgence n’est pas activé.
Expression logique :
M = NOT Urgence
7. Combiner les fonctions logiques
On peut combiner plusieurs opérations logiques.
Exemple
S = A AND B OR C
Il faut faire attention aux priorités.
En général, on utilise des parenthèses :
S = (A AND B) OR C
Cela signifie :
S vaut 1 si A et B valent 1, ou si C vaut 1.
Exemple avec table de vérité
Expression :
S = A AND (B OR C)
| A | B | C | B OR C | S = A AND (B OR C) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
8. Portes logiques
Une porte logique est un composant qui applique une opération logique.
| Porte | Fonction | Description |
|---|---|---|
| AND | ET | Sortie 1 si toutes les entrées valent 1 |
| OR | OU | Sortie 1 si au moins une entrée vaut 1 |
| XOR | OU exclusif | Sortie 1 si une seule entrée vaut 1 |
| NOT | NON | Inverse la valeur |
Lire un circuit logique
Pour lire un circuit logique, il faut :
- identifier les entrées ;
- identifier les portes logiques ;
- suivre le sens du circuit ;
- écrire l’expression logique ;
- calculer la sortie.
Exemple
Situation :
A et B passent dans une porte AND.
Le résultat passe ensuite dans une porte OR avec C.
Expression logique :
S = (A AND B) OR C
Si :
A = 1
B = 0
C = 1
Alors :
A AND B = 1 AND 0 = 0
S = 0 OR 1 = 1
Donc :
S = 1
9. Algèbre de Boole
L’algèbre de Boole est une partie des mathématiques qui travaille avec deux valeurs :
0 et 1
ou :
faux et vrai
Elle permet de simplifier des expressions logiques.
Lois principales
Identité
A AND 1 = A
A OR 0 = A
Exemples :
1 AND 1 = 1
0 AND 1 = 0
1 OR 0 = 1
0 OR 0 = 0
Élément nul
A AND 0 = 0
A OR 1 = 1
Idempotence
A AND A = A
A OR A = A
Complément
A AND NOT A = 0
A OR NOT A = 1
Double négation
NOT (NOT A) = A
10. Lois de De Morgan
Les lois de De Morgan permettent de transformer des expressions avec NOT, AND et OR.
Première loi
NOT (A AND B) = (NOT A) OR (NOT B)
Cela signifie :
Le contraire de “A et B” est “non A ou non B”.
Exemple courant
Phrase :
Je ne prends pas le bus et le train.
Cela peut vouloir dire :
Je ne prends pas le bus OU je ne prends pas le train.
Deuxième loi
NOT (A OR B) = (NOT A) AND (NOT B)
Cela signifie :
Le contraire de “A ou B” est “non A et non B”.
Exemple courant
Phrase :
Je ne mange ni pomme ni poire.
Cela signifie :
Je ne mange pas de pomme ET je ne mange pas de poire.
11. Traduire une situation courante en langage logique
Exemple 1 : accès à une salle
Situation :
Une personne peut entrer si elle possède un badge ET si la porte est déverrouillée.
Variables :
B = badge
P = porte déverrouillée
E = entrée autorisée
Expression :
E = B AND P
Exemple 2 : alarme
Situation :
L’alarme sonne si une porte est ouverte OU si un mouvement est détecté.
Variables :
P = porte ouverte
M = mouvement détecté
A = alarme
Expression :
A = P OR M
Exemple 3 : sécurité machine
Situation :
Une machine fonctionne si le bouton marche est activé ET si l’arrêt d’urgence n’est pas activé.
Variables :
M = bouton marche
U = arrêt d’urgence
F = fonctionnement
Expression :
F = M AND NOT U
12. Exercices
Exercice 1 : convertir en décimal
Convertis les nombres suivants en base 10 :
1010₂
1111₂
10000₂
23₅
A₁₆
1F₁₆
Corrections
1010₂ = 10₁₀
1111₂ = 15₁₀
10000₂ = 16₁₀
23₅ = 13₁₀
A₁₆ = 10₁₀
1F₁₆ = 31₁₀
Exercice 2 : convertir depuis le décimal
Convertis les nombres suivants en base 2 :
5₁₀
8₁₀
12₁₀
18₁₀
Corrections
5₁₀ = 101₂
8₁₀ = 1000₂
12₁₀ = 1100₂
18₁₀ = 10010₂
Exercice 3 : addition binaire
Calcule :
101₂ + 11₂
110₂ + 10₂
1011₂ + 101₂
Corrections
101₂ + 11₂ = 1000₂
110₂ + 10₂ = 1000₂
1011₂ + 101₂ = 10000₂
Exercice 4 : logique
Complète les résultats.
| A | B | A AND B | A OR B | A XOR B |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | ? | ? | ? |
| 0 | 1 | ? | ? | ? |
| 1 | 0 | ? | ? | ? |
| 1 | 1 | ? | ? | ? |
Correction
| A | B | A AND B | A OR B | A XOR B |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Exercice 5 : expression logique
On donne :
A = 1
B = 0
C = 1
Calcule :
S = A AND B
T = A OR B
U = A XOR C
V = A AND (B OR C)
Correction
S = 1 AND 0 = 0
T = 1 OR 0 = 1
U = 1 XOR 1 = 0
V = 1 AND (0 OR 1)
V = 1 AND 1
V = 1
Synthèse à retenir
Base 2 : utilise 0 et 1
Base 10 : utilise 0 à 9
Base 16 : utilise 0 à 9 et A à F
1 octet = 8 bits
1 byte = 1 octet
Pour convertir vers la base 10 :
On utilise les puissances de la base.
Pour convertir depuis la base 10 :
On fait des divisions successives.
Les principales fonctions logiques sont :
AND = ET
OR = OU
XOR = OU exclusif
NOT = NON
Les lois de De Morgan sont :
NOT (A AND B) = NOT A OR NOT B
NOT (A OR B) = NOT A AND NOT B
