1. Pourquoi les ordinateurs utilisent-ils le binaire ?
Un ordinateur ne comprend pas directement les nombres comme nous les écrivons en base 10. Il fonctionne avec des circuits électriques qui peuvent prendre principalement deux états :
| État électrique | Valeur informatique |
|---|---|
| Pas de courant / faible tension | 0 |
| Courant / forte tension | 1 |
Ces deux valeurs forment le système binaire, aussi appelé base 2.
Un chiffre binaire s’appelle un bit.
Un groupe de 8 bits s’appelle un octet.
Exemple :
01000001
est une suite de 8 bits, donc un octet.
2. Les systèmes de numération
La base 10 : système décimal
C’est le système que nous utilisons tous les jours.
Il utilise 10 symboles :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Exemple :
345 = 3 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1
Donc :
345 = 3 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰
La base 2 : système binaire
Le système binaire utilise seulement deux symboles :
0 et 1
Chaque position correspond à une puissance de 2.
Exemple :
1011₂
On calcule :
1 × 2³ + 0 × 2² + 1 × 2¹ + 1 × 2⁰
= 8 + 0 + 2 + 1
= 11
Donc :
1011₂ = 11₁₀
La base 16 : système hexadécimal
Le système hexadécimal utilise 16 symboles :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Les lettres représentent les valeurs suivantes :
| Hexadécimal | Décimal |
|---|---|
| A | 10 |
| B | 11 |
| C | 12 |
| D | 13 |
| E | 14 |
| F | 15 |
L’hexadécimal est très utilisé en informatique, car il permet d’écrire les nombres binaires de manière plus courte.
Exemple :
11111111₂ = FF₁₆
Conversion des nombres naturels en hexadécimal
1. Convertir un nombre décimal en hexadécimal
Pour convertir un nombre décimal en hexadécimal, on divise successivement par 16 et on garde les restes.
Exemple : convertir 255 en hexadécimal.
255 ÷ 16 = 15 reste 15
15 ÷ 16 = 0 reste 15
Le reste 15 correspond à F.
On lit les restes de bas en haut :
255₁₀ = FF₁₆
Autre exemple : convertir 43 en hexadécimal.
43 ÷ 16 = 2 reste 11
Le reste 11 correspond à B.
Donc :
43₁₀ = 2B₁₆
2. Convertir un nombre hexadécimal en décimal
Chaque position correspond à une puissance de 16.
Exemple :
2B₁₆
On sait que :
B = 11
Donc :
2B₁₆ = 2 × 16¹ + 11 × 16⁰
= 2 × 16 + 11 × 1
= 32 + 11
= 43₁₀
Autre exemple :
1A₁₆ = 1 × 16 + 10 = 26₁₀
Conversion binaire ↔ hexadécimal
1. Pourquoi la conversion est-elle simple ?
Un chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits.
On appelle ce groupe de 4 bits un quartet ou nibble.
| Binaire | Hexadécimal |
|---|---|
| 0000 | 0 |
| 0001 | 1 |
| 0010 | 2 |
| 0011 | 3 |
| 0100 | 4 |
| 0101 | 5 |
| 0110 | 6 |
| 0111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
2. Convertir du binaire vers l’hexadécimal
Méthode :
- On regroupe les bits par paquets de 4 en partant de la droite.
- On convertit chaque groupe en chiffre hexadécimal.
Exemple :
10111111₂
On sépare en groupes de 4 :
1011 1111
On convertit :
1011 = B
1111 = F
Donc :
10111111₂ = BF₁₆
Autre exemple :
110101₂
On regroupe par 4 depuis la droite :
0011 0101
On ajoute des zéros à gauche si nécessaire.
0011 = 3
0101 = 5
Donc :
110101₂ = 35₁₆
3. Convertir de l’hexadécimal vers le binaire
Méthode :
- On remplace chaque chiffre hexadécimal par son équivalent sur 4 bits.
Exemple :
A7₁₆
On convertit :
A = 1010
7 = 0111
Donc :
A7₁₆ = 10100111₂
Autre exemple :
3F₁₆
3 = 0011
F = 1111
Donc :
3F₁₆ = 00111111₂
On peut aussi écrire :
3F₁₆ = 111111₂
car les zéros à gauche ne changent pas la valeur du nombre.
Introduction au BCD
1. Qu’est-ce que le BCD ?
BCD signifie Binary Coded Decimal, c’est-à-dire décimal codé en binaire.
Dans le BCD, chaque chiffre décimal est codé séparément sur 4 bits.
Exemple :
37₁₀
On ne convertit pas directement 37 en binaire.
On code séparément le 3 et le 7.
3 = 0011
7 = 0111
Donc :
37 en BCD = 0011 0111
Attention :
37₁₀ = 100101₂
mais
37 en BCD = 0011 0111
Ce n’est pas la même chose.
2. Pourquoi utiliser le BCD ?
Le BCD est pratique pour représenter des chiffres décimaux dans certaines situations, par exemple :
- affichage numérique ;
- calculatrices ;
- horloges digitales ;
- systèmes où l’on veut garder la forme décimale des nombres.
3. Lien entre BCD, binaire et hexadécimal
Le BCD permet d’introduire la conversion entre hexadécimal et binaire, car dans les deux cas on travaille avec des groupes de 4 bits.
Exemple :
9 = 1001
En hexadécimal :
9₁₆ = 1001₂
En BCD :
9₁₀ = 1001
Mais attention : en BCD, seuls les codes de 0000 à 1001 sont utilisés pour les chiffres 0 à 9. Les combinaisons de 1010 à 1111 ne sont pas utilisées en BCD classique.
| Binaire | BCD | Hexadécimal |
|---|---|---|
| 0000 | 0 | 0 |
| 0001 | 1 | 1 |
| 0010 | 2 | 2 |
| 0011 | 3 | 3 |
| 0100 | 4 | 4 |
| 0101 | 5 | 5 |
| 0110 | 6 | 6 |
| 0111 | 7 | 7 |
| 1000 | 8 | 8 |
| 1001 | 9 | 9 |
| 1010 | non utilisé en BCD | A |
| 1011 | non utilisé en BCD | B |
| 1100 | non utilisé en BCD | C |
| 1101 | non utilisé en BCD | D |
| 1110 | non utilisé en BCD | E |
| 1111 | non utilisé en BCD | F |
Représentation alphanumérique dans un système informatique
1. Pourquoi faut-il coder l’information ?
Un ordinateur ne comprend que des 0 et des 1. Pourtant, nous utilisons des textes, des lettres, des chiffres, des signes de ponctuation, des symboles et parfois même des emojis.
Il faut donc transformer chaque caractère en une suite de bits.
C’est ce qu’on appelle le codage de l’information.
Exemples de caractères à coder :
A
b
7
?
é
@
Chaque caractère doit correspondre à un code précis.
2. Le caractère univoque du codage
Un codage doit être univoque.
Cela signifie qu’un code doit correspondre à un seul caractère, et qu’un caractère doit être représenté par un code bien défini.
Exemple simple :
| Caractère | Code imaginaire |
|---|---|
| A | 01 |
| B | 10 |
| C | 11 |
Si le code 01 signifie A, il ne peut pas aussi signifier B. Sinon, l’ordinateur ne saurait pas comment l’interpréter.
C’est comme dans le code Morse :
A = .-
B = -...
C = -.-.
Chaque combinaison correspond à une lettre précise.
Le code ASCII
1. Définition
ASCII signifie American Standard Code for Information Interchange.
C’est un ancien système de codage très important en informatique.
Il permet de représenter :
- les lettres majuscules ;
- les lettres minuscules ;
- les chiffres ;
- les signes de ponctuation ;
- certains caractères de contrôle.
ASCII utilise à l’origine 7 bits, ce qui permet de coder :
2⁷ = 128 caractères
2. Exemples de codes ASCII
| Caractère | Code décimal ASCII | Code binaire |
|---|---|---|
| A | 65 | 01000001 |
| B | 66 | 01000010 |
| a | 97 | 01100001 |
| b | 98 | 01100010 |
| 0 | 48 | 00110000 |
| 1 | 49 | 00110001 |
| espace | 32 | 00100000 |
Exemple :
A
est représenté en ASCII par :
65
ou en binaire :
01000001
3. Limites du code ASCII
ASCII permet de coder les caractères anglais de base, mais il ne suffit pas pour toutes les langues.
Par exemple, ASCII ne permet pas de représenter correctement :
é, è, à, ç, ô, œ
Il ne permet pas non plus de représenter les caractères d’autres alphabets comme :
α, Ж, 中, あ
Pour résoudre ce problème, on utilise des codages plus complets, comme Unicode et UTF-8.
Unicode et UTF-8
1. Unicode
Unicode est un standard qui attribue un numéro unique à presque tous les caractères utilisés dans le monde.
Il peut représenter :
- les lettres latines ;
- les accents ;
- les alphabets grec, arabe, cyrillique ;
- les caractères chinois, japonais, coréens ;
- les symboles mathématiques ;
- les emojis.
Exemples :
| Caractère | Code Unicode |
|---|---|
| A | U+0041 |
| é | U+00E9 |
| € | U+20AC |
| 😊 | U+1F60A |
Unicode donne donc une identité unique à chaque caractère.
2. UTF-8
UTF-8 est une manière de stocker les caractères Unicode en mémoire.
UTF-8 utilise un nombre variable d’octets :
| Type de caractère | Nombre d’octets en UTF-8 |
|---|---|
| Caractères ASCII simples | 1 octet |
| Lettres accentuées | souvent 2 octets |
| Certains symboles | 3 octets |
| Emojis | souvent 4 octets |
Exemples :
| Caractère | UTF-8 approximatif |
|---|---|
| A | 1 octet |
| é | 2 octets |
| € | 3 octets |
| 😊 | 4 octets |
L’avantage de UTF-8 est qu’il est compatible avec ASCII pour les caractères de base.
Cela signifie que :
A
a le même codage en ASCII et en UTF-8.
Exemples de codage dans la vie courante
1. Le code Morse
Le code Morse transforme les lettres en points et traits.
Exemple :
| Lettre | Code Morse |
|---|---|
| A | .- |
| B | -… |
| C | -.-. |
| S | … |
| O | — |
Le message :
SOS
s’écrit :
... --- ...
C’est un exemple simple de codage de l’information.
2. Le code-barres
Un code-barres représente des informations à l’aide de barres noires et blanches.
Il peut contenir par exemple :
- un numéro de produit ;
- un identifiant ;
- une référence commerciale.
Le lecteur de code-barres transforme les barres en données numériques compréhensibles par un ordinateur.
3. Le QR code
Un QR code est un code en deux dimensions.
Il peut contenir :
- un lien vers un site web ;
- du texte ;
- une adresse e-mail ;
- une carte de visite ;
- des informations de paiement.
Il fonctionne aussi grâce à une représentation codée de l’information.
4. Le numéro de matricule
Un numéro de matricule est aussi une forme de codage.
Exemple :
2026-045
Ce code peut représenter :
- une année ;
- un ordre d’inscription ;
- une personne ;
- un dossier.
L’important est que le code soit organisé et compréhensible par le système qui l’utilise.
Synthèse
Un ordinateur représente toutes les informations sous forme de bits, donc avec des 0 et des 1.
Pour les nombres, on utilise notamment :
| Système | Base | Symboles |
|---|---|---|
| Décimal | 10 | 0 à 9 |
| Binaire | 2 | 0 et 1 |
| Hexadécimal | 16 | 0 à 9 et A à F |
L’hexadécimal est très utile car un chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits.
Pour les caractères, on utilise des systèmes de codage comme :
| Codage | Utilité |
|---|---|
| ASCII | Codage de base des caractères anglais |
| Unicode | Standard international pour presque tous les caractères |
| UTF-8 | Méthode moderne pour stocker Unicode |
Le codage est nécessaire car l’ordinateur ne manipule que des données binaires. Il doit donc transformer les nombres, les lettres, les symboles et les textes en suites de 0 et de 1.
