Convertir un nombre décimal en binaire et inversement.
1. Pourquoi l’ordinateur utilise-t-il le binaire ?
Un ordinateur fonctionne avec des composants électroniques qui ne distinguent que deux états :
- le courant passe : 1
- le courant ne passe pas : 0
C’est pourquoi les ordinateurs utilisent le système binaire, qui ne contient que deux chiffres : 0 et 1.
2. Notion de base
En mathématiques, on peut représenter les nombres dans différentes bases.
Le système décimal
C’est le système que nous utilisons tous les jours.
Il est en base 10, car il utilise 10 chiffres :
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Exemple :
345 = 3 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1
On peut aussi écrire :
345 = 3 × 10² + 4 × 10¹ + 5 × 10⁰
Le système binaire
Le système binaire est en base 2, car il utilise seulement 2 chiffres :
0 et 1
Chaque chiffre binaire est appelé un bit.
Exemple :
1011₂
Le petit ₂ indique que le nombre est écrit en base 2.
3. Notion de rang
Dans un nombre, chaque chiffre a une valeur différente selon sa position.
En binaire, les rangs sont des puissances de 2 :
| Rang | 2³ | 2² | 2¹ | 2⁰ |
|---|---|---|---|---|
| Valeur | 8 | 4 | 2 | 1 |
Exemple avec 1011₂ :
| Chiffre binaire | 1 | 0 | 1 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| Valeur du rang | 8 | 4 | 2 | 1 |
Donc :
1011₂ = 1 × 8 + 0 × 4 + 1 × 2 + 1 × 1
1011₂ = 8 + 0 + 2 + 1 = 11
Donc :
1011₂ = 11₁₀
4. Convertir un nombre binaire en décimal
Pour convertir un nombre binaire en décimal :
- On écrit les puissances de 2 sous chaque chiffre.
- On garde uniquement les valeurs placées sous les 1.
- On additionne ces valeurs.
Exemple
Convertir 1101₂ en décimal.
| Chiffre binaire | 1 | 1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| Valeur | 8 | 4 | 2 | 1 |
On additionne les valeurs correspondant aux 1 :
8 + 4 + 1 = 13
Donc :
1101₂ = 13₁₀
5. Convertir un nombre décimal en binaire
Pour convertir un nombre décimal en binaire, on peut utiliser les divisions successives par 2.
Méthode :
- On divise le nombre par 2.
- On note le reste : 0 ou 1.
- On recommence avec le quotient.
- On lit les restes de bas en haut.
Exemple
Convertir 13₁₀ en binaire.
| Division | Quotient | Reste |
|---|---|---|
| 13 ÷ 2 | 6 | 1 |
| 6 ÷ 2 | 3 | 0 |
| 3 ÷ 2 | 1 | 1 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
On lit les restes de bas en haut :
1101
Donc :
13₁₀ = 1101₂
6. Exemple récapitulatif
Décimal vers binaire
Convertir 10₁₀ en binaire.
| Division | Quotient | Reste |
|---|---|---|
| 10 ÷ 2 | 5 | 0 |
| 5 ÷ 2 | 2 | 1 |
| 2 ÷ 2 | 1 | 0 |
| 1 ÷ 2 | 0 | 1 |
Lecture des restes de bas en haut :
1010
Donc :
10₁₀ = 1010₂
Binaire vers décimal
Convertir 1010₂ en décimal.
| Chiffre binaire | 1 | 0 | 1 | 0 |
|---|---|---|---|---|
| Valeur | 8 | 4 | 2 | 1 |
8 + 2 = 10
Donc :
1010₂ = 10₁₀
7. Exercices
Exercice 1 : Convertir en décimal
Convertis les nombres binaires suivants en décimal :
- 101₂
- 111₂
- 1001₂
- 1110₂
Exercice 2 : Convertir en binaire
Convertis les nombres décimaux suivants en binaire :
- 6₁₀
- 9₁₀
- 12₁₀
- 15₁₀
8. Correction
Exercice 1
- 101₂ = 5₁₀
- 111₂ = 7₁₀
- 1001₂ = 9₁₀
- 1110₂ = 14₁₀
Exercice 2
- 6₁₀ = 110₂
- 9₁₀ = 1001₂
- 12₁₀ = 1100₂
- 15₁₀ = 1111₂
